• Ayoub EL ABD

Quelle modélisation pour le risque de pandémie ?


La pandémie se définit comme la propagation d’une maladie contagieuse qui atteint un grand nombre de personnes dans une zone géographique très étendue, en un court intervalle de temps. Les pandémies font partie des risques extrêmes qui se caractérisent par une faible fréquence et une forte intensité.


Dans une situation de propagation d’un agent pathogène à l’échelle mondiale, les organismes d’assurance et de la protection sociale sont susceptibles de faire face à des pertes colossales. En effet, ils doivent subir à la fois à une forte augmentation de la sinistralité accompagnée d’une diminution de la valeur de leurs actifs financiers et des coûts supplémentaires pour assurer la continuité de leur activité.

Une grande importance est ainsi accordée à la modélisation du risque pandémique. La suite de cet article a pour objectif d'en détailler la théorie.


Dans le cadre des exigences en terme de besoin en capital sous Solvabilité 2, les organismes assureurs sont amenés à quantifier l’impact qu’aura une pandémie sur leurs activités. En effet, un capital requis de solvabilité a été instauré par cette réglementation de manière à absorber un choc qui surviendrait une fois tous les 200 ans. La formule standard, évoquée dans l’article « Coronavirus : Comment les assureurs se préparent-ils à ce risque pandémique ? », fait ressortir les sous-modules où le risque de pandémie apparaît. Les assureurs ont donc le choix de calculer leurs besoins en capital par le biais de cette formule standard ou d’utiliser un modèle interne dont l’objectif serait d’obtenir un choc de mortalité à un seuil de 99,5% correspondant à un scénario bicentenaire.





Deux grandes classes de modèles sont utilisées actuellement pour modéliser le risque pandémique : les modèles épidémiologiques, permettant de simuler la maladie, et les modèles actuariels qui eux reposent sur une étude de données historiques.


1. Modèles actuariels

Les modèles actuariels sont des modèles de projection basés sur la mortalité historique.

En effet, ces modèles estiment l’évolution future de la mortalité extrême à l’aide des méthodes statistiques basées sur des données historiques. [Guette, 2010] subdivise ces modèles en deux composantes :

  • Une composante régulière qui modélise les variations des taux de mortalité sans tenir compte des événements catastrophiques ;

  • Une composante catastrophe qui capture l’excès de mortalité suite à une catastrophe. La fréquence et la sévérité de la catastrophe sont modélisées séparément sur la base de données historiques.


2. Modèles épidémiologiques

La modélisation épidémiologique de la diffusion d’une pandémie, ainsi que son impact en terme de surmortalité, a pour but de modéliser la propagation d’une maladie infectieuse dans une population. Deux types de modèles épidémiologiques se distinguent : les modèles compartimentaux et les modèles non-compartimentaux.


Dans l'article "Actuarial Applications of Epidemiological Models" publié dans le North American Actuarial Journal en 2011 par Runhuan Feng et Jose Garrido trois principaux avantages de l'utilisation de modèles épidémiologiques pour la modélisation de la couverture d'assurance contre les maladies infectieuses sont mis en évidence :

  • La dynamique des maladies infectieuses est reflétée par la loi de l'action de masse (interactions entre les différents groupes) et les modèles compartimentaux sont construits de telle sorte à respecter cette loi.

  • Il existe de nombreuses études et recherches qui portent sur la validation de ces modèles et sur l’estimation de leurs paramètres.

  • Les modèles épidémiologiques peuvent être utilisés dans les tests de sensibilité pour les mesures de prévention et d'intervention et peuvent donc servir à l’analyse de l'impact sur les obligations financières des produits d'assurance couvrant les maladies infectieuses.


Modèles compartimentaux

Afin de modéliser la dynamique des maladies dans une population, différents modèles de transmission existent. Les modèles considérés comme la base des modèles épidémiologiques sont les modèles compartimentaux qui se sont développés depuis le 20ème siècle.

Le sujet de l’étude en épidémiologie n’est pas l’individu mais la population au sein de laquelle se propage le virus. Les modèles compartimentaux considèrent que la population est bien mélangée et que la structure des contacts est homogène au sein de la population [Marine HABART, 2010]. La population est divisée en différentes classes auxquelles sont ajoutées des probabilités de passages entre les différents états.

Dans la théorie des maladies infectieuses, le modèle le plus couramment étudié est le modèle Susceptible-Infecté-Retiré (SIR) développé par Kermack-Mckendrick en 1927. Dans ce modèle la population est séparée en 3 classes :

  • S : Susceptibles (Individus qui peuvent être infectées mais qui ne le sont pas encore)

  • I : Infectés

  • R : Retirés (Personnes qui se rétablissent ou meurent du virus)


Soit r la probabilité qu’une personne susceptible soit infectée lors d’un contact avec une personne infectée et a le taux de guérison ou de décès de la personne infectée (r et a sont constants). Le nombre de susceptibles, infectés et retirés à l’instant t sont respectivement notés S(t), I(t) et R(t). Soit N le nombre total d’individus dans la population (N est considéré constant dans le temps). Alors l’égalité suivante est vérifiée à chaque pas de temps :

S(t)+I(t)+R(t)=N(t)=N

Le système d'équations différentiels régissant le modèle SIR est comme suit :

dS/dt = -r x I (t) x S(t)

dI/dt = r x I(t )x S(t) - a x I(t)

dR/dt = a x I(t)

Une épidémie se produit lorsque le nombre de personnes infectées croît avec le temps (i.e : dI/dt>0), ce qui implique r*S/a>1. En effet, le flux entrant dans la classe infectée (r*I(t)*S(t)) doit être supérieur aux flux sortant (a*I(t)).

Le taux de reproduction de base, noté R0 (=r*S/a), est un paramètre important dans l'évolution du système dans le temps. Le taux de reproduction de base, comme l'indiquent Arino et Van den Driessche (2003), est le nombre moyen de nouvelles infections, générées par un individu infectieux moyen (pendant sa période d'infectiosité), dans une population entièrement composée d'individus susceptibles.


Pour un ensemble de paramètres initiaux, l’évolution du nombre d’individus dans chaque classe du modèle SIR est présentée dans la figure suivante :


Dans le cas illustré dans la figure précédente, après approximativement 35 jours toute la population est dans la classe des retirés, ce qui signifie que toute la population a été infectée et ensuite les individus se sont rétablis ou sont morts. Le pic de la taille de la population infectée est atteint après 5 jours.

D’un point de vue actuariel, lorsqu’une pandémie est déclenchée, la classe susceptible est confrontée au risque d’infection et pourrait donc s’assurer en payant des primes afin de recevoir des indemnités lorsqu’elle est infectée (frais médicaux) ou lorsqu’elle meurt (garantie décès).

Le modèle SEIR (Susceptible-Exposé-Infecté-Remplacé) est un autre modèle compartimental déterministe intéressant dans lequel la classe exposée est ajoutée pour tenir compte des individus qui sont infectés mais pas encore infectieux. En effet, cela est utile lorsque les maladies modélisées ont une longue période d'incubation, comme la grippe par exemple.

Soit p le taux avec lequel une personne exposée devient infectieuse, qui s’ajoute aux hypothèses énoncées précédemment pour le modèle SIR.


Le système d'équations différentielles du modèle SEIR est alors le suivant :

dS/dt = -r x I(t) x S(t)

dE/dt = r x I(t) x S(t) - p x I(t)

dI/dt = p x E(t) - a x I(t)

dR/dt = a x I(t)

Pour un ensemble de paramètres initiaux, l’évolution du nombre d’individus dans chaque classe du modèle SEIR est présentée dans la figure suivante :


Les modèles compartimentaux déterministes sont simples à mettre en œuvre mais n'ont pas de caractère aléatoire. D'autres modèles compartimentaux ont des extensions spatiales et temporelles, mais leur résolution n'est possible que dans certains cas particuliers.

Les modèles compartimentaux stochastiques peuvent intégrer l’ensemble des sources d’hétérogénéité souhaitées (spatiale, temporelle, comportementale, etc…). Ils tiennent compte de la nature aléatoire de tout événement de transmission et de développement d’une infection [Sauvage et Pontier, 2005].

Afin de synthétiser la modélisation retenue dans un contexte assurantiel, le déroulement du processus de la modélisation épidémiologique stochastique en assurance est décrit comme suit :



Modèles non-compartimentaux

Les modèles non-compartimentaux, comme le processus stochastique de branchement, les chaînes binomiales ou certains modèles basés sur la théorie des graphes, offrent une meilleure modélisation avec une plus grande précision, mais sont plus efficaces sur de petites populations et prennent beaucoup de temps de calcul.



Conclusion


Dans un contexte assurantiel, l’enjeu est de trouver un bon équilibre entre la précision du modèle et le temps de calcul. Un bon modèle pandémique permet d’inclure la dynamique de la diffusion du virus observé mais d’une manière assez simple. Ce qui guide le choix d’un modèle est le degré de précision visé sous les contraintes opérationnelles. Dans cette optique, les modèles utilisés sur le marché de l’assurance aujourd’hui combinent une modélisation actuarielle avec l’expertise épidémiologique afin d’incorporer une dimension prospective à la modélisation. Ces modèles sont importants pour les assureurs qui cherchent à quantifier l’impact d’une pandémie sur les garanties proposées aux assurés (frais médicaux, décès, invalidité,…). Établir une meilleure adéquation de la modélisation aux risques inhérents à l’activité est toute aussi importante en cas de mise en place de dispositifs de couverture pour retenir la couverture la plus adaptée (réassurance classique, titrisation, …).

Rédacteurs : Isabelle DEVINE / Ayoub EL ABD

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